Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của hai đường thẳng BC và E...

1

4N

40 Nguyễn Anh Tuấn

1 tháng 2 2023

loading...

4N

40 Nguyễn Anh Tuấn

1 tháng 2 2023

Đến từ quanda

BC

Ba Ca Ma

13 tháng 1 2019

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ,nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC đồng quy tại H. P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M,I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP, Chứng minh \(MI\perp AP\)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác ABC.AD là đường kính của (O). E thuộc AC sao cho HE//BC.1). Chứng minh rằng các đường thẳng BH và DE cắt nhau trên (O)2). Gọi F là giao điểm của các đường thẳng EH và AB. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF3). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Chứng minh rằng...

0

PT

Pham Trong Bach

8 tháng 3 2019

#Toán lớp 10

1

CM

Cao Minh Tâm

8 tháng 3 2019

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do H E ∥ B C ⊥ H A ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có A P H ^ = A E H ^ (góc nội tiếp)

= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)

⇒ P H ≡ P B

2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B

Tương tự F I ∥ H C ; E F ∥ B C ⇒ Δ I E F v à Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

Đúng(1)

K

Khách

8 tháng 2 2021

Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O). BE,CF là đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H (E∈AC, F∈AB), K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đoạn thẳng KA cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

1) Tứ giác BCEF nội tiếp

2) KE.KF=KM.KA

3) Ba điểm M,H,I thẳng hàng

0

PT

Phan Thị Việt Hoa

14 tháng 4 2023

Câu 4(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của EF và BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại P và AD tại Q.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh DFC = EFC.
c) Chứng minh BP = BQ.

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 4 2023

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

b: góc DFC=góc EBC

góc EFC=góc DAC

góc EBC=góc DAC

=>góc DFC=góc EFC

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm BC và vẽ đường kính AV của (O) a) CMR: H, M, V thẳng hàng b) CMR: BH=2OK với K là trung điểm AC c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: G thuộc OH và GH=2GO d) Cho sđ cung BC=120 và gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR: IO=INH e) Tia BE cắt cung AC tại B'; tia CF cắt cung AB tại C'. CMR: B' đối xứng H...

PN

Pham Ngoc Bich Tram

8 tháng 1 2021

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ hình bình hành BHCG, đường thẳng G song song với BC cắt AH tại M a) Chứng minh tứ giác ABGC và tứ giác ABMG nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AGC đồng dạng. c) Chứng minh H và M đối xứng với nhau qua BC. d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K...

0

92

9D-21-Bùi Quang Khải-ĐH

30 tháng 3 2022

1

92

9D-21-Bùi Quang Khải-ĐH

30 tháng 3 2022

Ai giúp em với😢

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) vẽ đường tròn tâm O có đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F ,gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm AH a. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và AD vuông góc BC b. Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, E, I, F cùng thuộc một đường tròn C. cho biết BC = 6 cm và góc A = 60 độ Tính độ dài...

HP

Hoàng Phương Thảo

18 tháng 3 2021

Cho tam giác ��ABC nhọn nội tiếp đường tròn (�;�)(O;R), dây ��BC cố định, điểm �A di động trên cung lớn ��BC. Gọi ��,��,��AD,BE,CF là các đường cao (�∈��,�∈��,�∈��)(D∈BC,E∈AC,F∈AB) và �H là trực tâm của tam giác ��,�ABC,I là trung điểm của ��BC và �K là trung điểm của ��AH. a) Chứng minh 4 điềm �,�,�,�B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

18 tháng 3 2021

Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H

a) Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)

\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)

\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)

hay \(\widehat{AFH}=90^0\)

Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét ΔABC có

BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)

BF cắt CE tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)

hay \(AD\perp BC\)(đpcm)

Đúng(1)

TM

Trần Minh Đức

VIP

17 tháng 6 2023

1

NT

Nguyễn Thị Thương Hoài

Giáo viên VIP

19 tháng 6 2023

loading...

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và CI = IB

⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB

⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có:

IE = IF = IB = IC

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\) chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰

⇒ \(\Delta\)AFC \(\sim\) \(\Delta\)AEB (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\)

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\) (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\) = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

⇒\(\widehat{KEI}\) = 90⁰

IE \(\perp\) KE (đpcm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB<AC) hai đường BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại trực tâm H.Vẽ đường kính AD của (O).Gọi K là giao điểm của AH với (O) L,P lần lượt là giao điểm của BC và EF,AC và KD.CM:1)Tứ giác EHKP nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này,chứng minh I thuộc BC2)Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh:AH=2OM3)Gọi T là giao điểm của (O) với đường tròn ngoại tiếp...

C

Ctuu

12 tháng 5 2022